ALGORITMO DE LA RAIZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO

  Introducción: Este trabajo de investigación, trata de hallar un algoritmo general para encontrar la raiz de cualquier orden, de cualquier numero, positivo o negativo. Para tal cometido se partió del conocimiento de la existencia del “Algoritmo babilónico” para hallar la raíz cuadrada de un número positivo, cuya expresión es: F(n) = 1/2*(N / X + X) Donde: N es el número del cual se halla la raíz, y X: Fo, F1, F2……el resultado de cada paso n de aplicación de la expresión, a sabiendas que un algoritmo es un proceso recursivo de cálculo, teniendo en cuenta que Fo será:

 Fo= 1/2* ( N / N + N ) y  F1= 1/2* ( N / Fo + Fo) , y así sucesivamente. 

Este algoritmo converge hacia el valor de la raiz (N) en pocos pasos, como se puede verificar. La cantidad de pasos depende del orden de la raíz. 

Obtención del algoritmo general: Operando con F(x) modificada para el caso de n=3, con la inclusión de dos constantes A y B obtenemos la siguiente expresión: 

F(x)= N/A* B/(X)2 + X/B 

La funcion: F(x)3 = (N/A* B/(X)2 + X/B)3 debe tender a N cuando X tiende a (N)1/3 

Operando: 

F(x)3 =( N/A)3 * B3 / X6 +3(N/A)2* B2 / X4* X/B+3 N/A* B/ X2*X2 /B2 + X3 / B3

Reemplazando X por (N)1/3 e igualando a N: 

N 3 / A3* B3 / N2 + 3 N2 / A2 * B / N + 3 N/(AB) + N / B3 = N 

Simplificando N en ambos miembros: (a) B3 / A3 + 3 B / A2 + 3 / (AB) + 1/ B3 = 1 

se observa que verifica para esta igualdad algebraica.

Necesitamos otra ecuación que surge de considerar la derivada de F(x) igualada a cero porque la función se supone convergente: 

dF / dX = N/A * B*( -2 / X3 ) + 1 / B = 0 que en X = (N)1/3 es: - 2*B/ A = - 1/ B, es decir: B2 = A / 2 que reemplazada en (a) resulta : A = 9/2 = n2 / (n-1) (siendo n=3) 

Por lo tanto B= 9/4= 3/2 y entonces: B= n / (n-1)

 Reemplazando en F(x): F(x) =( 1/n )* ( N / X(n-1) + (n-1) * X ) donde n es el orden de la raiz, y 

X el resultado de cada paso recursivo.

F(x) es la función general algoritmo para el cálculo de la raíz enésima de un número. Dependiendo del orden de la raíz, podemos clasificar los resultados en : 

1-Raiz de orden impar de número negativo, es negativa. (Excluyente en signo) 

2-Raiz de orden impar de número positivo, es positiva. (Excluyente en signo) 

3-Raiz de orden par de número positivo, es positiva o negativa (Opcional en signo) 

4-Raiz de orden par de número negativo es indeterminada en valor y signo. 

5-Para hacer la última determinada en valor debe cambiarse el signo + del segundo término por el signo -, con lo cual queda determinada en valor pero no en signo, alternándose ambos en el resultado: 

F(x) = 1/n * ( N / (X*(n-1)) - (n-1) * X ) 

6-El campo irracional de los números surge de un proceso algorítmico racional, partiendo del campo racional. En resumen, la clasificación general del campo irracional determinado en valor es:

 a-Excluyente en signo. (casos 1 y 2) 

b-Opcional en signo. (caso 3)

c-Incluyente en signo. (caso 5). Aquí deben considerarse ambos signos simultáneamente para seguir operando. 

d-Existe un algoritmo que da un resultado indeterminado en valor y signo. (caso 4). Es un caso especial que puede tener otras implicaciones. Es un caso que proporciona un campo numérico aparentemente sin repetición e indefinido.

 

a-Es un caso que proporciona un campo numérico aparentemente sin repetición e indefinido.

 

MUNDOS PARALELOS

En el avance actual de la Fisica, contamos con el descubrimiento de la antimateria, y su utilizacion en hechos practicos, de muy baja produccion de energìa, en su colision con la materia normal.

Por otra parte, los experimentos teoricos y practicos de desintegracion de los componentes del nucleo atomico, denominados protòn y neutròn, en la materia normal, han conducido a la Fisica al descubrimiento del neutrino, una particula de insignificante interaccion con las conocidas por su aparentemente nula masa, pero necesaria para conocer en profundidad la composicion del nucleo atomico

En la foto anterior se muestra el resultado de esas experiencias de desintegracion, donde curiosamente se observan componentes de materia y antimateria. Esto habilita a pensar que, siendo que la antimateria pertenece a una region "paralela", no identificada, la desintegracion del proton y del neutron estaria mostrando un entrelazamiento entre materia y antimateria, con lo que podrìamos suponer que nuestro mundo està enlazado con un mundo paralelo no perceptible con nuestros sentidos, simplemente porque estos no estarìan diseñados para percibir aquel mundo paralelo.

EQUIVALENCIA ENTRE MASA Y ENERGÍA EN GASES

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

En la Física de partículas subatómicas, se descubrió hace alrededor de 100 años, que era imposible conocer exactamente el completo estado de movimiento de un micro objeto, el que viene dado comúnmente por la posición y la velocidad del mismo. Sin embargo, si se quería conocer exactamente uno de estos dos atributos, era posible, pero se perdía automáticamente el conocimiento del otro. Supongamos que representamos en un grafico de coordenadas la probabilidad de conocer el estado de movimiento de una partícula subatómica como muestra la figura. El 100 % corresponde al conocimiento completo, y tanto la posición como la velocidad representan un 50 % de ese conocimiento.

En el gráfico, el punto 1 representa el intento de medir simultáneamente la posición y la velocidad de la partícula, y conocerlas exactamente, lo que se comprobó es un acto imposible. El punto 2 representa la medición solamente de la posición, lo que resulta posible con mucha exactitud, pero se obtiene el 50% del conocimiento. Lo mismo sucede con el punto 3 donde se obtiene sólo el conocimiento de la velocidad. El punto 4 representa la posible obtención del conocimiento completo, pero aceptando una mínima incertidumbre y complementando datos de 2 y 3 medidos con diferentes instrumentos. Observemos además, que posición y velocidad son atributos opuestos y complementarios del estado cinético de la partícula, porque ocupar una posición es análogo a no movimiento (o no-velocidad), y viceversa, estar en velocidad es cambiar de posición o no tener una posición fija.

 ANALOGIA CON EL AMBITO PSICOLOGICO: Vayamos al caso de dos personas que discuten amablemente sobre un tema. Es posible que en breve desarrollen posiciones opuestas sobre el tema. Con lo que puede decirse que cada uno posee la mitad del conocimiento sobre el mismo, por aplicación del principio que dice que toda verdad es una media verdad (v. Kybalion: principio de polaridad). Sin embargo, si desconocen este principio, cada uno sentirá que posee la verdad sobre el tema, posicionados en un estado de certeza. Estamos asì ubicados en las posiciones 2 y 3 del grafico anterior. Ahora, si poseyendo cada uno la verdad, deja de prestarle atencion a la posición del otro, buscarán convencerse mutuamente de que la verdad es la propia. En cambio, si aceptan que la simple aparición de una posición opuesta implica que la propia posición es una media verdad, podrán aceptar una cierta incertidumbre, y que la verdad se encuentra más allá de ambas posiciones (punto 4 del gráfico). De esta manera será posible intentar darle a la posición del otro la misma importancia que tiene la propia posición, lo que permitirá acercarse paulatinamente a la verdad (punto 4), y fundamentando de manera adecuada la propia posición, representando esto un acto de complementación. Por último, el punto 1 del gráfico, que aquí implica que ambas personas poseen la verdad, no es posible y solo aparenta ser posible cuando una de las personas se subordina a la posición del otro.

LA FUERZA CENTRIFUGA Y EL UNIVERSO

En la bibliografía en uso actualmente, esta fuerza es considerada ficticia, es decir, que aparenta ser real sin serlo. En este trabajo analizaremos este concepto a partir del movimiento de rotación de los planetas alrededor del Sol, para mostrar finalmente que tal fuerza es real y necesaria para cumplir con la ley fundamental de la Física clásica: el principio de acción y reacción. En la figura siguiente se representa un planeta girando alrededor del Sol, y se muestran las dos fuerzas actuantes, sin las cuales el movimiento giratorio no se realizaría en equilibrio, y el equilibrio se muestra tangible porque el planeta no sigue finalmente el camino que lo separa del Sol, lo que significaría su destrucción. Estas fuerzas son Fcp, fuerza centrípeta debida a la atracción entre el Sol y el planeta, dada por la conocida ecuación:
 Fcp=(G*Ms*Mp)/R^2
 Donde:
G: Constante universal de gravitación en m^3/(kg.s^2 )
Ms: Masa del Sol en kg,
Mp: Masa del planeta en kg,
R: Radio de la orbita desarrollada por el planeta(m)

La otra fuerza actuante, debida a la aplicación del principio de acción-reacción es Fcf, y es la denominada fuerza centrífuga por su acción de alejamiento del centro de giro, la que se conoce por la expresión:
 Fcf=(Mp*V^2)/R=Mp*w^2*R

Donde w es la velocidad angular del planeta en órbita, y V la velocidad de traslación en la órbita. Aquí es importante señalar que lo que está actuando en este movimiento físico, es un principio realmente existente, que fue descubierto, y como tal, se requiere reconocer que estas dos fuerzas son reales. Fcp refiere a la acción, y Fcf refiere a la reacción, igual y opuesta a la anterior, necesaria para lograr el equilibrio, sino la sola acción de la fuerza centrípeta produciría finalmente la destrucción del planeta en la masa solar. Por lo tanto, es necesario reconocer que hay otra masa actuando para producir en Mp la aceleración centrifuga V^2/R
La única masa posible, desde el punto de vista tangible, es la masa del universo físico que conforma el entorno del planeta, ya que este, como todo cuerpo, se mueve en un océano influido por la masa distribuida que lo circunda, y del cual no parece posible hallar un centro de masa fijo, sino también distribuido. Aceptando esto último como un hecho, analizaremos la aceleración centrifuga del planeta, en función de la velocidad tangencial V, la que es igual en valor a la aceleración centrípeta, pero de signo opuesto.
Esta última surge de: Fcp=(G*Ms*Mp)/R^2 =(V^2*Mp)/R^ =Mp*ac

 Donde: ac: aceleración centrípeta= V^2/R= (G*MS)/R^2

 Despejando V: V=±√((G*Ms)/R)

 En este punto es donde juega un papel importante el articulo “La lógica de la raíz cuadrada”, que puede leerse publicado en este Blog. Tal lógica nos dice que las opciones con los signos de la raíz cuadrada anterior, son tres: (+)y(+); (-)y(-); (+)y(-)
Con las dos primeras opciones obtenemos : V^2=+ (G*MS)/R

 pero con la opción tercera obtendremos: 〖V〗^2=- (G*MS)/R que es el valor opuesto complementario del anterior, que necesariamente deberìa existir.

Y dividiendo por R obtenemos: V^2/R=- (G*MS)/R^2 =acf

Se observa que, en esta ultima ecuación, el signo negativo podrìa pertenecer a Ms o a la constante G. Pero no es concebible la existencia de una masa negativa, por lo tanto debemos suponer que, para que exista la aceleración centrifuga, deberìa existir un dominio no conocido, que posea una constante de gravitación igual y opuesta a la conocida. Y ese dominio podría tener que ver con un dominio de anti-materia, donde esta se manifestaria de manera ubicua.

Quizàs deberíamos aceptar la idea de que existe una masa refleja del Sol que se encuentra en un universo intangible y ubicuo, que es complementario del tangible donde los cuerpos existen ocupando un lugar. Lo que nos podría llevar a considerar seriamente la existencia de un universo intangible, ubicuo e inteligente, tal vez como fundamento del tangible donde existen los cuerpos.

EL MUNDO EN QUE VIVIMOS

Vivimos en un universo físico, del cual ya hemos reconocido algunos datos, desde el punto de vista científico: 1. No es infinito, porque si lo fuera, la masa que tendría tal universo sería también infinita, y entonces nosotros no podríamos mover nuestros cuerpos, debido a la inercia infinita que se opondría a ese movimiento. Esta deducción es debida a Albert Einstein, quien fue un científico confiable. 2. Si este universo no es infinito, debe poseer un límite físico, y, por lo tanto, deberíamos reconocer que está contenido en otro universo, también físico, pero sin masa, lo que es improbable desde el conocimiento de la Física. 3. La consecuencia inmediata de lo anterior, reconociendo que lo físico se corresponde con lo que nos muestran los sentidos, es que este universo tangible no estaría contenido en alguna otra parte de características tangibles. Es decir, no se encuentra en ningún sitio que pueda conocerse de manera tangible. 4. Si aceptamos eso, aun así, debe ser parte de un todo, por lo que su parte complementaria debería poseer características no tangibles. 5. Es lo que hemos encontrado en lo profundo de la materia, al estudiarla, y que nos condujera a reconocer la existencia de una dualidad partícula-onda en la composición de aquella. La acción como partícula se debe a su masa, que es en extremo pequeña, y la acción como onda se comprueba por fenómenos de difracción, sólo concebibles por medio de ondas. En ambos casos, la acción está representada por un numero constante, denominado constante universal de Planck. 6. Tanto en el caso de la partícula como en el caso de la onda, nos encontramos con el fenómeno de la intangibilidad, porque no responde a nuestra percepción sensorial. Son ambos inobservables directamente. Pero realmente existentes. 7. La realidad de su existencia se percibe de manera inteligible por medio del lenguaje matemático contenido en la Mecánica Cuántica. 8. Como la Matemática es un sistema inteligible de análisis, descubierto/inventado por el ser humano a partir del concepto de número, su empleo para observar lo profundo de la materia nos estaría indicando que, en ese ámbito, los entes estudiados, serían de un orden matemático, y, por lo tanto, intangibles. 9. Aquí podemos dilucidar qué es primero; el mundo tangible del cual surgirían las partículas intangibles que lo componen, o viceversa. La respuesta es obvia: el mundo tangible se compone, en origen, de partículas-ondas intangibles pero inteligibles, de un orden matemático, mientras que nuestros sentidos, también compuestos de la misma forma, nos aportan la sensación de tangibilidad producida por el mundo físico. 10. Debe existir entonces una mente de un orden matemático (o en general, simbólico), que crea el mundo intangible de partículas-ondas, y su complemento tangible que es el mundo que nos permiten percibir nuestros sentidos.

LO RACIONAL

Vamos a emprender la búsqueda de un significado para el concepto “lo racional”, que, en principio aparece como una frase aplicable a todo lo conocido a través del pensamiento humano. Para este, lo conocido es aquello que puede mostrarnos una razón de su existencia, y sólo una, de manera que no movilice a nuestra conciencia hacia la incertidumbre. Bajo esta perspectiva, algo racional es lo que nos da un conocimiento certero de su existencia.

Por ejemplo, nuestros sentidos nos aportan un conocimiento certero de la existencia de un objeto cualquiera en lo macro físico. Pero con la experiencia realizada en la profundización del conocimiento de la materia, arribamos a un ámbito micro físico que escapa a la influencia de nuestros sentidos para aportarnos un conocimiento racional, y con este defecto fue necesario introducir la ayuda de las matemáticas para poder observar las razones existentes en ese ámbito.

Pero veamos de qué se compone este instrumento formidable llamado Matemáticas. Consiste en un lenguaje simbólico diseñado mediante números y funciones, que siguen determinadas reglas operativas. El cumplimiento riguroso de estas reglas es lo que hace efectivo el empleo de este instrumento mental.

Se pueden reconocer aquì, entre otros, dos campos de particular interés: el racional y el irracional. En el primero, se encuentran los números enteros y las fracciones decimales, que, sometidas al proceso del algoritmo de la división entera, arroja un único resultado para cada fracción. Lo que es compatible con la necesidad de un ámbito racional de obtener certeza.

El segundo campo, llamado irracional, se obtiene aplicando al primero, el algoritmo de la raíz enésima de números enteros y fracciones. En este caso, tal algoritmo arroja resultados polares, es decir, un mismo valor, pero con distintos signos para el caso de raíces pares, lo cual moviliza a la conciencia del operador a aceptar una indeterminación en signo, o contradicción, hecho este que representa un grado de incertidumbre.

Tanto en la teoría del electromagnetismo como en la microfísica, resultó de particular importancia el empleo del campo irracional de las matemáticas, lo que puede facultarnos a pensar que en esos ámbitos puede no haber certeza en el conocimiento, porque prevalece el campo irracional de nuestro instrumento matemático, que no nos aporta una única razón, ya que es irracional o, también, no racional, o contradictorio. La aparición del principio de incertidumbre de Heisenberg, en Física Cuántica, apoya esa tendencia a la falta de certeza en ámbitos que no se relacionan con la percepción sensorial. Lo que estaría insinuando que nuestra concepción de lo racional podría estar originada en nuestra experiencia con los sentidos, que como sabemos, es una experiencia de pequeña amplitud dentro de la realidad toda, pero que se corresponde con un mundo macro físico, es decir, compuesto por lo que está determinado a existir en una cierta dimensión y manera, sin contradicción aparente.

Es posible suponer entonces, que el mundo sensorial y su representación mental, la racionalidad, constituyan una isla en un océano de realidad conformado de manera contradictoria. Una isla que nosotros estaríamos tomando como referencia para dimensionar el océano.

Asumiendo como válida esta suposición, vayamos a considerar una razón numérica cualquiera, y analicemos porqué razón constituye un determinado valor, que no es contradictorio.

Tomemos por ejemplo la razón 1/7, y operemos con el algoritmo de la división, lo que resulta:

0.142857142857…., es decir, una única secuencia de infinitos dígitos decimales, que supuestamente debería diferenciarse de cualquier otra. Pero no buscamos una secuencia, sino un determinado valor no contradictorio. Este valor está a la vista y está dado por su entero, que en este caso es cero, y sucesivas posiciones decimales que actuarán como diferenciadoras de cualquier otro valor que podamos obtener por este medio. Además, el signo de este resultado es único, y responde a la regla de los signos aplicada a numerador y denominador, lo que resulta no contradictorio.

Obtenido lo que buscábamos, parece conveniente volver a la secuencia de infinitos dígitos decimales, para observarla con detenimiento. Lo que puede apreciarse es que muestra una repetición cíclica de seis dígitos. Estos son: 142857.

Es un hecho que despierta curiosidad, por lo que parece oportuno indagar màs a fondo esta cuestión.

Cambiemos sucesivamente el numerador de esta razón, y registremos sus resultados:

2/7:     0.285714285714….

3/7:     0.428571428571….

4/7:     0.571428571428….

5/7:     0.714285714285….

6/7:     0.857142857142….

7/7:     1.000000000000

8/7:     1.142857142857….

9/7:     1.285714285714….

Se observa igualmente una repetición cíclica en sus decimales, que… ¡es siempre la misma!!

Esto significa que las infinitas razones con denominador 7, poseen en su resultado decimal, el mismo ciclo que se repite incesantemente. Y en su parte entera un número que va cambiando una unidad, cada siete unidades del numerador.

De aquí podemos deducir que las infinitas razones con denominador 7 responden, todas, a un mismo ciclo significativo. La diferenciación entre las distintas razones es obtenida a través del entero, que aquí aparece como una especie de nivel al que pertenecen 6 razones, y de la primera cifra decimal que funciona de “enganche” al ciclo significativo común. Este ”enganche” distinto podría interpretarse como una analogía que se establece sobre una base significativa común.

Esto nos estaría diciendo que, en los distintos niveles de realidad numérica, es posible encontrar analogías significativas que pertenecerían a un significado común, en forma de secuencia numérica, que tiene que ver con el denominador de las razones en estudio.

Analicemos ahora la base significativa común a partir de la palabra ciclo, que en idioma griego significa circulo. Esta relación nos invita a disponer el ciclo encontrado, en una forma circular, lo que nos conduce al siguiente esquema:

En la figura, en el círculo blanco se han dispuesto las cifras constituyentes del ciclo, y en el círculo verde se han dispuesto las razones que corresponden según el punto de “enganche” con la primera cifra decimal del ciclo.

Se observa que la suma de las dos cifras opuestas, circulando por el ciclo, resulta siempre igual a 9, lo que es un hecho significativo que nos conduciría a interpretar que esta disposición circular del ciclo es más “natural” que la disposición lineal tradicional.

Por otra parte, el hecho de que las cifras opuestas del ciclo sumen siempre 9, nos hablaría del sostenimiento de un principio implícito, que podemos llamar “de opuestos complementarios”. Opuestos porque las dos cifras que se suman son geométricamente opuestas, y complementarios, porque en su suma, cada cifra se complementa a 9 con su opuesta.

En el círculo interior, de color naranja, se han efectuado las diferencias algebraicas sucesivas entre las cifras del ciclo, tomadas de a dos, lo que arroja los resultados indicados con su signo, los que resultan, cada uno, de valor igual a su opuesto geométrico, pero de signo opuesto, y esto representa la definición cabal de polaridad.

Está demás decir que este ordenamiento armonioso, no es producto de la voluntad del operador consciente que realiza la división. Por tal motivo debemos aceptar que este orden inteligente es trascendente y configura un orden arquetípico que gobernaría las relaciones matemáticas llamadas racionales, ya que, como el lector puede comprobar, se encuentra en una infinitud de relaciones con otros denominadores, a su modo particular, y en especial con números primos.

CONSECUENCIAS.

Las razones numéricas derivan de un orden trascendente, y son reguladas por este.

Una razón numérica no puede entenderse como una entidad separada. Posee conexiones analógicas con otras razones, dentro de una gama que puede determinarse.

El hallazgo de un orden arquetípico que regula naturalmente las relaciones en números racionales, de manera trascendente, es decir, fuera de la influencia de nuestra conciencia, nos facultaría a interpretar que las matemáticas son parte de la estructura psicológica. Que esta a su vez se origina en un ámbito trascendente, más allá del psicológico. Que el número, como decía Carl Jung, puede ser considerado un arquetipo básico de la realidad.

Toda razón numérica parece estar definiendo, no solo una cantidad, sino también una cualidad dada por el orden arquetípico que la regula, y un nivel o ámbito diferenciado por un numero entero, donde se aplicaría esa cualidad.

De esta manera es posible comprender la coincidencia significativa de los cálculos matemáticos con los procesos físicos que deseamos interpretar.

Establecer relaciones por analogía, entre diferentes ámbitos de la realidad, puede ser un método natural de análisis e investigación.