ALGORITMO DE LA RAIZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO

  Introducción: Este trabajo de investigación, trata de hallar un algoritmo general para encontrar la raiz de cualquier orden, de cualquier numero, positivo o negativo. Para tal cometido se partió del conocimiento de la existencia del “Algoritmo babilónico” para hallar la raíz cuadrada de un número positivo, cuya expresión es: F(n) = 1/2*(N / X + X) Donde: N es el número del cual se halla la raíz, y X: Fo, F1, F2……el resultado de cada paso n de aplicación de la expresión, a sabiendas que un algoritmo es un proceso recursivo de cálculo, teniendo en cuenta que Fo será:

 Fo= 1/2* ( N / N + N ) y  F1= 1/2* ( N / Fo + Fo) , y así sucesivamente. 

Este algoritmo converge hacia el valor de la raiz (N) en pocos pasos, como se puede verificar. La cantidad de pasos depende del orden de la raíz. 

Obtención del algoritmo general: Operando con F(x) modificada para el caso de n=3, con la inclusión de dos constantes A y B obtenemos la siguiente expresión: 

F(x)= N/A* B/(X)2 + X/B 

La funcion: F(x)3 = (N/A* B/(X)2 + X/B)3 debe tender a N cuando X tiende a (N)1/3 

Operando: 

F(x)3 =( N/A)3 * B3 / X6 +3(N/A)2* B2 / X4* X/B+3 N/A* B/ X2*X2 /B2 + X3 / B3

Reemplazando X por (N)1/3 e igualando a N: 

N 3 / A3* B3 / N2 + 3 N2 / A2 * B / N + 3 N/(AB) + N / B3 = N 

Simplificando N en ambos miembros: (a) B3 / A3 + 3 B / A2 + 3 / (AB) + 1/ B3 = 1 

se observa que verifica para esta igualdad algebraica.

Necesitamos otra ecuación que surge de considerar la derivada de F(x) igualada a cero porque la función se supone convergente: 

dF / dX = N/A * B*( -2 / X3 ) + 1 / B = 0 que en X = (N)1/3 es: - 2*B/ A = - 1/ B, es decir: B2 = A / 2 que reemplazada en (a) resulta : A = 9/2 = n2 / (n-1) (siendo n=3) 

Por lo tanto B= 9/4= 3/2 y entonces: B= n / (n-1)

 Reemplazando en F(x): F(x) =( 1/n )* ( N / X(n-1) + (n-1) * X ) donde n es el orden de la raiz, y 

X el resultado de cada paso recursivo.

F(x) es la función general algoritmo para el cálculo de la raíz enésima de un número. Dependiendo del orden de la raíz, podemos clasificar los resultados en : 

1-Raiz de orden impar de número negativo, es negativa. (Excluyente en signo) 

2-Raiz de orden impar de número positivo, es positiva. (Excluyente en signo) 

3-Raiz de orden par de número positivo, es positiva o negativa (Opcional en signo) 

4-Raiz de orden par de número negativo es indeterminada en valor y signo. 

5-Para hacer la última determinada en valor debe cambiarse el signo + del segundo término por el signo -, con lo cual queda determinada en valor pero no en signo, alternándose ambos en el resultado: 

F(x) = 1/n * ( N / (X*(n-1)) - (n-1) * X ) 

6-El campo irracional de los números surge de un proceso algorítmico racional, partiendo del campo racional. En resumen, la clasificación general del campo irracional determinado en valor es:

 a-Excluyente en signo. (casos 1 y 2) 

b-Opcional en signo. (caso 3)

c-Incluyente en signo. (caso 5). Aquí deben considerarse ambos signos simultáneamente para seguir operando. 

d-Existe un algoritmo que da un resultado indeterminado en valor y signo. (caso 4). Es un caso especial que puede tener otras implicaciones. Es un caso que proporciona un campo numérico aparentemente sin repetición e indefinido.

 

a-Es un caso que proporciona un campo numérico aparentemente sin repetición e indefinido.